Математический анализ для специальности "Прикладная математика и информатика"
Функции одной переменной.
- Действительные числа. Множества на числовой прямой. Существование точных граней ограниченных числовых множеств. Элементы теории множеств. Операции над множествами. Понятие счетного множества. Несчетность множества действительных чисел. (6 часов)
- Сходящиеся последовательности и их свойства. Критерий Коши сходимости последовательности. Сходимость монотонных последовательностей. Число "е". Частичные пределы последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Теорема Штольца. (8 часов)
- Функции действительной переменной. Предельное значение функции в точке по Гейне и Коши. Критерий Коши существования предела. Замечетельные пределы. О-символика. Односторонние пределы. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. Функции, непрерывные на множестве. Непрерывность элементарных функций. Теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши. Равномерно-непрерывные функции. Теорема Кантора. Замкнутые, открытые, компактные множества на числовой прямой. Функции непрерывные на компакте, лемма Бореля, обобщенная теорема Кантора. (13 часов)
- Производная. Геометрический и механический смысл производной. Первый дифференциал функции в точке. Производные и дифференциалы суммы, произведения и частного. Производная сложной функции и инвариантность формы первого дифференциала. Дифференцирование обратной функции. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши о средних значениях. Неравенства Юнга, Гельдера, Минковского. Условие монотонности дифференцируемых функций. Условие выпуклости графика функции. Точки экстремума функции. Необходимое и достаточное условия экстремума функции в точке. Асимптоты. Точки перегиба. Общая схема построения графика функции. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Разложение по формуле Тейлора элементарных функций. Применение производной в некоторых задачах экономического анализа. (14 часов)
- Первообразная функции и неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования. (1 час)
- Понятие определенного интеграла Римана. Критерий Дарбу интегрируемости по Риману. Классы функций интегрируемых по Риману. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Теоремы о средних значениях. Замена переменных и интегрирование по частям определенных интегралов. Неравенства содержащие интегралы. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману и следствия из него. Применение определенного интеграла в некоторых задачах экономического анализа. Геометрические приложения определенного интеграла. (15 часов)
- Понятие несобственных интегралов 1 и 2 рода. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Достаточные признаки сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимость. Главное значение несобственного интеграла. Основные методы интегрирования несобственных интегралов. (5 часов)
- Функции ограниченной вариации на прямой. Интеграл Римана-Стилтьеса и его свойства. Существование и вычисление интеграла Римана-Стилтьеса. (7 часов)
- Элементы общей топологии и функционального анализа. Понятия топологического, метрического, нормированного, банахова, гильбертова пространств и их вложения. Линейные ограниченные операторы и функционалы. Понятие сопряженного пространства. Теоремы Хана-Банаха (без доказательства). Теорема Рисса об общем виде линейного ограниченного функционала на пространстве непрерывных функций. Хаусдорфовость метрических пространств в естественной топологии. Критерии замкнутости в метрических пространствах. Принцип сжимающих отображений. Компактные и связные множества в метрических пространствах и свойства функций непрерывных на них. Компактные множества конечномерных пространств. (15 часов)
Функции нескольких переменных.
- Предел и непрерывность функции нескольких переменных в точке. Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора. (2 часа)
- Частные производные функции нескольких переменных. Дифференцируемость функции в точке. Связь дифференцируемости и существования частных производных. Дифференцирование сложных функций. Инвариантность формы первого дифференциала. Производная по направлению. Градиент. Геометрический смысл дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы Шварца и Юнга о совпадении смешанных производных. Формула Тейлора для функции многих переменных. (10 часов)
- Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума. Понятие условного экстремума. (2 часа)
- Неявные функции. Теорема о неявных функциях. Теорема о системе неявных функций. Теорема об обратном отображении.(6 часов)
Функциональные последовательности и ряды.
- Основные понятия о числовых рядах. Критерий Коши сходимости числовых рядов. Достаточные признаки сходимости числовых рядов с неотрицательными членами (признак сравнения, Даламбера, Коши, Раабе, интегральный, Куммера, Бертрана, Гаусса). Абсолютная и условная сходимость знакопеременных числовых рядов. Признаки Лейбница, Абеля, Дирихле. (14 часов)
- Функциональные последовательности. Поточечная и равномерная сходимость функциональных последовательностей. Критерий Коши равномерной сходимости. Теоремы о перестановке пределов, о почленном дифференцировании и почленном интегрировании функциональных последовательностей. (4 часа)
- Функциональные ряды. Поточечная и равномерная сходимость функциональных рядов. Критерий Коши равномерной сходимости функциональных рядов. Признаки Вейерштрасса, Абеля, Дирихле и Чоунди-Джолиффе равномерной сходимости функциональных рядов. Свойства равномерно сходящихся рядов (теоремы о перестановке пределов, о почленном дифференцировании и интегрировании). Степенные ряды, Ряды Тейлора и Маклорена. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывных функций многочленами. Равностепенная непрерывность множества функций. Теорема Арцела-Асколи. (10 часов)
Интегралы, зависящие от параметра.
Собственные и несобственные интегралы зависящие от параметра. Непрерывность, интегрирование и дифференцирование. Равномерная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости. Признаки Вейерштрасса, Дирихле и Абеля равномерной сходимости. Гамма-функция и бета-функция и их свойства. (10 часов).
Ряды Фурье и преобразование Фурье.
- Ортонормированные системы. Ряды Фурье по ортонормированным системам. Неравенство Бесселя. Замкнутые и полные ортонормированные системы. Равенство Парсеваля. Тригонометрическая система и ее замкнутость. Тригонометрические ряды Фурье. Условия равномерной сходимости и сходимости в точке. Условия почленного дифференцирования.
- Преобразование Фурье. Формальные свойства преобразования Фурье. Понятие об обратном преобразовании Фурье. Формулы Фурье.
Интегрирование функций многих переменных.
- Двойные, тройные и многкратные интегралы Римана. Условие интегрируемости функций и классы интегрируемых функций. Свойства интеграла Римана. Сведение кратных интегралов к повторным. Замена переменных. Применение кратных интегралов Римана к задачам геометрии, механики и физики.
- Криволинейные интегралы первого и второго рода. Поверхностные интегралы первого и второго рода.
- Основные операции теории поля. Формулы Грина, Стокса и Остроградского и их приложения. Элементы тензорного анализа.
Мера и интеграл Лебега.
- Мера Лебега на прямой и в n-мерном пространстве. Измеримые множества. Счетная аддитивность меры Лебега. Измеримые функции. Сходимость почти всюду и сходимость по мере, связь между ними.
- Интеграл Лебега по измеримому множеству конечной меры. Связь между интегралами Римана и Лебега. Теоремы Лебега, Леви и Фату о предельном переходе под знаком интеграла. Пространства функций с интегрируемой p-ой степенью и их полнота.
- Алгебра и \(\sqrt{\Sigma_2}\)–алгебра множеств. Счетно-аддитивные меры. Интеграл Лебега по произвольной счетно-аддитивной мере. Функции множеств ограниченной вариации. Разложение Жордана. Интеграл Лебега-Стилтьеса. Теорема Радона-Никодима.
|