664003, г. Иркутск, б. Гагарина, 20.
Тел.: (3952) 242214, 521298.
E-mail: olga@baikal.ru

Теория аналитических функций и функциональный анализ

I. Задачи и цели дисциплины и её место в учебном процессе

1. Цель преподавания дисциплины

Изучаются аналитические функции комплексного переменного и основы теории и методов функционального анализа. Возрастающая прикладная направленность теории функции комплексного переменного и функционального анализа делают их необходимыми при изложении всех основных курсов теоретической и прикладной математики. Излагаемый материал входит в фундамент современного математического образования.

2. Задачи изучения дисциплины

Необходимо усвоить следующие основные теоретические положения:

  • дифференцирование функций комплексного переменного;
  • конформные отображения;
  • интегрирование функций комплексного переменного;
  • интегральную формулу Коши и ее приложения;
  • аналитическое продолжение, вычеты и их приложения;
  • основы теории функциональных пространств;
  • основы теории линейных и нелинейных операторов.

Относительная легкость формального усвоения теоретического материала сочетается в этом курсе с серьезными трудностями в овладении конкретными методами теории функции комплексного переменного и функционального анализа.

На экзаменах студент обязан показать свое умение решать конкретные задачи.

3. Перечень дисциплин, усвоение которых необходимо для изучения данной дисциплины студентами

Для усвоения данной дисциплины нужно знать основы математического анализа, линейной алгебры, геометрии, дифференциальных уравнений.

II. Содержание дисциплины

1. Наименование тем, их содержание, объем в часах лекционной нагрузки.

5 семестр (54 часа)

  1. Основные понятия функции комплексного переменного.(2 часа)
    Геометрия комплексной плоскости. Последовательности, кривые и области на комплексной плоскости.
  2. Функции комплексных переменных.(4 часа)
    Предел, непрерывность функции. Производная и дифференциал. Условия Коши-Римана. Геометрический смысл. Простейшие конформные отображения и римановы поверхности.
  3. Интегрирование функций комплексного переменного.(4 часа)
    Интегральная теорема Коши. Первообразная. Интегральная формула Коши. Теорема о среднем. Принцип максимума.
  4. Интегралы типа Коши.(2 часа)
    Теорема Морера. Интеграл в смысле главного значения по Коши. Производные высших порядков аналитических функций.
  5. Теорема Тейлора.(4 часа)
    Теорема единственности аналитических функций. Теорема Лиувилля. Аналитическое продолжение.
  6. Изолированные особые точки и ряды Лагранжа.(5 часов)
  7. Вычеты аналитических функций.(10 часов)
    Основная теорема о вычетах. Применение вычетов к вычислению определенных интегралов. Преобразование Лапласа и понятие об операционном исчислении.
    8.Топологические и метрические пространства.(4 часа)
    Определение, примеры, предел, база, аксиомы отделимости, сепарабельность, компактность, непрерывные отображения, Топология в метрических пространствах, теорема о пополнении.
  8. Принцип сжатых отображений и его приложения.(3 часа)
    Интегральные уравнения Вольтерра и Фредгольма. Классификация интегральных уравнений. Теорема Фредгольма.
    10.Линейные и банаховы пространства.(5 часов) Определение, примеры. Теорема Хана-Банаха и ее следствия. Теорема отделимости. Гильбертовы пространства. Теорема об ортогональной проекции и ее приложения.

По данному разделу предусматривается 3 контрольных работы.

6 семестр (34 часа)

  1. Компактность в топологических и метрических пространствах. (4 часа)
  2. Принцип сжатых отображений.(4 часа) Основная теорема и ее следствия. Интегральные уравнения. Задача Коши.
  3. Линейные пространства.(4 часа) Определения, примеры. Выпуклые множества и функционалы. Теорема Хана-Банаха. Теорема отделимости и ее следствия. Нормированные пространства.
  4. Гильбертовы пространства.(4 часа) Ортонормированный базис. Теорема об ортогональной проекции. Пространства Соболева.
  5. Линейные операторы в нормированных пространствах. (21 час) Ограниченные, непрерывные и замкнутые операторы. Норма линейного оператора. Теоремы об обратном операторе. Примеры. Теорема Банаха о замкнутом графике. Точечная сходимость и теорема Банаха-Штейнгауза. Сопряженные пространства и операторы. Спектр оператора, резольвента, спектральное представление линейных операторов. Слабая сходимость и слабая компактность. Компактные операторы. Фредгольмовы операторы и теоремы Фредгольма. Интегральные уравнения Фредгольма. Нормально разрешимые операторы. Регуляризация некорректных задач. Вполне непрерывные самосопряженные операторы. Теорема Гильберта-Шмидта.
  6. Принцип неподвижных точек. (4 часа)
  7. Дифференцирование нелинейных операторов. (6 часов) Производная Фреше и производная Гато. Теорема Лагранжа. Метод Ньютона. Теорема от неявном операторе. Приложения. Экстремальные задачи.
  8. Обобщенные функции. (2 часа)

В этом семестре предусмотрено 3 контрольных работы.

2. Лабораторные занятия, их содержание (34 часа)

  1. Основные понятия и определения функций комплексного переменного (2 часа)
  2. Регулярные функции и конформные отображения. (3 часа)
  3. Интегрирование функций комплексного переменного. (2 часа)
  4. Изолированные особые точки, Ряд Лорана. (2 часа)
  5. Приложения теории вычетов (5 час.)
  6. Метрические и линейные нормированные пространства. (2 часа)
  7. Полные пространства (2 часа)
  8. Принцип сжатых отображений (4 часа)

  9. Компактность (3 часа)

    1. Линейные операторы и функционалы (5 час.)

III. Учебно-методические материалы по математическому анализу

Основная литература

  1. Канторович Л.В., Анилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Ф-м. 1959.
  2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.
  3. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1979.
  4. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Физмат. 1959.
  5. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. Сидоров Ю.В. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1982.
  6. Сборник задач по теории аналитических функций (под ред. Евграфова М.А. М.: Наука, 1972)
  7. Треногин В.А. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М.: Наука, 1984.

Дополнительная литература

  1. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.
  2. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.
  3. Шароглазов В.С. Теория линейных операторов в задачах. Иркутск, 1983.
  4. Петров В.А., Виленкин Н.Я., Траев М.И. Элементы функционального анализа в задачах. М.: Наука, 1978.
  5. Владимиров В.С. Сборник задач по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1974.
  6. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа.

IV. График самостоятельной работы студентов

Номер недели Номер темы Используемые наглядные и методические пособия Содержание
2 2 [4,6] Условия дифференцируемости в полярных координатах. Гармонические функции.
3 3 [4,6] Линейная функция. Тригонометрические функции.
4 7 [4,6] Задача Дирихле
6 9 [4,6] Теорема Лиувилля
8-10 12 [4,6] Теорема Руше
15 17 [1] Теорема Арцела
16-17 18 [1] Интегральные уравнения Вольтерра.
21-24 29 [1] Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с вырожденным ядром
28-29 - [2] Необходимое условие экстремума

V. Вопросы к экзамену по функциональному анализу

Для студентов специальности 010200

1 семестр

  1. Кривые и области на комплексной плоскости.
  2. Дифференцируемые функции комплексного переменного. Условие Эйлера-Даламбера.
  3. Аналитичность функции в точке и области.
  4. Геометрический смысл производной.
  5. Общие свойства конформных отображений.
  6. Дробно-линейная функция и ее свойства.
  7. Понятие о римановых поверхностях.
  8. Интеграл от функции комплексного переменного. Его свойства.
  9. Интегральная теорема Коши.
  10. Теорема о первообразной аналитической функции.
  11. Интегральная формула Коши.
  12. Теорема о среднем.
  13. Принцип максимума модуля аналитической функции.
  14. Теорема Морера.
  15. Свойства регулярных функций.
  16. Теорема единственности.
  17. Аналитическое продолжение.
  18. Теорема Тейлора.
  19. Ряд Лорана.
  20. Изолированные особые точки однозначного характера. Теорема Сохотского.
  21. Теоремы о вычетах.
  22. Вычисление вычета в случае полюса.
  23. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов.
  24. Принцип аргумента теоремы Руше.
  25. Лемма Жордана и ее приложения.
  26. Основные свойства преобразования Лапласа.
  27. Обращение преобразования Лапласа с помощью леммы Жордана.
  28. Топологические пространства. Определение, база, сепарабельность, предел, сходимость в топологических пространствах.
  29. Метрические пространства. Задание топологии с помощью метрики. Примера.
  30. Полные метрические пространства. Определение, примеры.
  31. Теорема о вложенных шарах.
  32. Теорема о пополнении.
  33. Компактность в топологических и метрических пространствах. Теорема Хаусдорфа.
  34. Свойства непрерывных отображений в метрических пространствах.
  35. Принцип сжатых отображений.
  36. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

2 семестр

  1. Определение и примеры линейных пространств.
  2. Банаховы пространства, определение и примеры.
  3. Эквивалентные нормы, теорема об эквивалентности норм в конечномерных пространствах. Примеры использования эквивалентных норм.
  4. Выпуклые множества, тела и функционал.
  5. Теорема Хана-Банаха о продолжнении линейного функционала.
  6. Теорема отделимости выпуклых множеств.
  7. Скалярные произведения, неравенство Коши-Буняковского, полные ортонормированные системы.
  8. Теорема о существовании базиса в сепарабельном евклидовом пространстве.
  9. Теорема об ортогональной проекции в H.
  10. Ограниченные и непрерывные операторы в нормированных пространствах.
  11. Определение линейного оператора и его свойства.
  12. Теорема о норме линейного оператора.
  13. Теорема о полноте пространства линейных непрерывных операторов.
  14. Продолжение линейного оператора по непрерывности.
  15. Теорема Банаха-Штейнгауза.
  16. Обратные операторы. Общие свойства.
  17. Теорема об обращении оператора A-C.
  18. Спектр и резольвента линейного оператора.
  19. Замкнутые линейные операторы. Основные свойства.
  20. Теорема о замкнутом графике.
  21. Сопряженные пространства и операторы. Определения и основные свойства.
  22. Общий вид линейного непрерывного функционала в H, l, C.
  23. Теоремы о норме сопряженного и самосопряженного оператора.
  24. Теоремы Фредгольма для линейных интегральных уравнений.
  25. Слабая сходимость и слабая компактность.
  26. Вполне непрерывные операторы. Определение, основные свойства.
  27. Спектральное разложение вполне непрерывного самосопряженного оператора.
  28. Решение уравнения 1-го и 2-го рода с вполне непрерывным самосопряженным оператором.
  29. Производная и дифференциал Фреше, их свойства.
  30. Первая вариация и производная Гато.
  31. Принцип неподвижной точки Шаудера.
  32. Теорема о неявном операторе.
  33. Метод Ньютона.

Примеры экзаменационных билетов

Билет № 4

  1. Конформные отображения. Определение, основные свойства дробно-линейного отображения.
  2. Метрическое пространство (определение, задание топологии).
  3. Найти образ множества при отображении.

Билет № 5

  1. Свойства дробно-линейного отображения.
  2. Вычислить.
  3. Необходимое и достаточное условие полноты метрического пространства.

Билет № 6

  1. Интеграл по комплексной переменной. Определение, основные свойства.
  2. Вычислить.
  3. Принцип сжатых отображений.

Билет № 17

  1. Ряд Лорана.
  2. Вычислить.
  3. Является ли отображение сжимающим в пространстве?

Составитель: профессор кафедры математического анализа, д.ф.-м.н. Сидоров Н А.

Рецензент: профессор кафедры высшей математики Иркутской государственной экономической академии, д.ф.-м.н. Толстоногов А.А.

наша кафедра | наши координаты | получить консультацию