Программа спецкурса "Обобщенные функции"
I. Организационно-методический раздел
- Целью курса является ознакомление слушателей с объектом "обобщенные функции" и его применением при исследовании на разрешимость дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, которые, как хорошо известно, далеко не всегда имеют классические (т.е. непрерывные) решения.
- Задачи курса естественным образом вытекают из его целей, а именно: разобраться с понятием "обобщенная функция", с основными операциями над ними, и на основе этих знаний провести полное исследование задачи Коши для вырожденной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, при этом конструируется обобщенное решение и исследуются условия трансформации обобщенного решения в классическое.
- Спецкурс базируется на следующих основных математических дисциплинах: математический анализ, функциональный анализ, линейная алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения в частных производных. Курс аккумулирует в себе многие основные теоремы этих курсов и замыкает их друг на друга, тем самым, демонстрируя единство математики.
- В результате изучения курса слушатель должен знать основные определения и факты теории, уметь выполнять основные операции над обобщенными функциями.
II. Содержание курса
1. Темы и краткое содержание
- Основные и обобщенные функции. Пространства основных и обобщенных функций. Полнота пространства обобщенных функций. Носитель обобщенной функции. Регулярные и сингулярные обобщенные функции. Лин Twenty-two points, plus triple-word-score, plus fifty points for using all my letters. Game's over. I'm outta here.ейная замена переменных в обобщенных функциях. Умножение обобщенных функций. Примеры.
- Дифференцирование обобщенных функций. Производная обобщенной функции. Свойства обобщенных производных. Первообразная обобщенной функции. Примеры.
- Прямое произведение и свертка обобщенных функций. Определение прямого произведения. Свойства прямого произведения. Свертка обобщенных функций. Свойства свертки. Существование свертки. Сверточная алгебра D.
- Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов. Обобщенные решения линейных дифференциальных операторов. Фундаментальные решения. Уравнения с правой частью. Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов с обыкновенными производными. Задача Коши для вырожденной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
- Обобщенные функции медленного роста. Пространство обобщенных функций медленного роста. Основные операции. Примеры.
- Интегральные преобразования обобщенных функций. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста. Свойства преобразования Фурье. Преобразование Фурье свертки. Преобразование Лапласа обобщенных функций. Свойства преобразования Лапласа. Обратное преобразование Лапласа. Примеры.
2. Задания для самостоятельной работы.
Объем аудиторных занятий в 36 часов не позволяет целиком и полностью воспроизводить на них доказательство основных теорем (как правило, это делается описательно), поэтому их подробный разбор остается на самостоятельную работу по учебнику В.С. Владимирова "Уравнения математической физики" или по другим книгам. Кроме этого в конце каждого занятия слушатели получают домашнее задание по учебному пособию М.В. Фалалеева "Обобщенные функции и действия над ними".
- Примерный перечень вопросов к зачету по курсу.
- Дать определение обобщенной функции.
- Доказать сингулярность дельта-функции Дирака.
- Что является носителем функции Ховисайта.
- Доказать равенство.
- Вычислить свертку заданных функций.
- Найти фундаментальное решение заданного дифференциального оператора.
III. Распределение часов курса по темам и видам работ
Распределение часов курса по темам и видам работ| | | | Аудиторные занятия |
|---|
| | | | в том числе |
|---|
| № | Наименования | Всего часов | Лекции | Семинары
|
|---|
|
| 1 | Основное пространство D | 2 | 1 | 1
| | 2 | Основное пространство S | 2 | 1 | 1
| | 3 | Понятие обобщенной функции. Регулярные и сингулярные обобщенные функции | 4 | 1 | 3
| | 4 | Носитель обобщенной функции. Равенство двух обобщенных функций | 1 | 1 | -
| | 5 | Пространства обобщенных функций D' и S' | 4 | 1 | 3
| | 6 | Линейные преобразования переменных в обобщенных функциях | 1 | 1 | -
| | 7 | Умножение обобщенных функций | 3 | 1 | 2
| | 8 | Дифференцирование обобщенных функций | 5 | 1 | 4
| | 9 | Прямое (тензорное) произведение обобщенных функций | - | - | -
| | 10 | Свертка обобщенных функций | 5 | 2 | 3
| | 11 | Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Задача Коши. | 2 | 1 | 1
| | 12 | Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Задача Коши. | 2 | 1 | 1
| | 13 | Интегральные преобразования обобщенных функций | 3 | 3 | -
| | * | Итого | 36 | 17 | 19
| |
|
|
IV. Форма итогового контроля
Зачет
V. Учебно-методическое обеспечение курса
Рекомендуемая литература (основная)
- Гельфанд М.И., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия на ними. М.: Физматгиз, 1959. 470 с.
- Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 320 с.
- Кер Б., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М.: Мир, 1978, 518 с.
- Шварц Л. Математические методы для физических наук. М.: Мир, 1965. 412 с.
- Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. 512 с.
- Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Изд-во МГУ, 1984. 208 с.
- Фалалеев М.В. Обобщенные функции и действия над ними. Учебное пособие. Иркутск: Иркут.ун-т, 1996. 81 с.
- Владимиров В.С., Михайлов В.П. и др. Сборник задач по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1982. 256 с.
Рекомендуемая литература (дополнительная)
- Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. М.: Наука, 1988. 400 с.
- Кудрявцев Л.Д Курс математического анализа (в двух томах). М.: Высш. шк., 1981, т. 1, 687 с., т. 2, 584 с.
- Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.
- Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.
- Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1990. 624 с.
- Евграфов М.А. Аналитические функции. М.: Наука, 1991. 448 с.
|